Jusqu'à présent, l'intégrale était notre outil pour mesurer l'espace entre une seule courbe et le sol fixe de l'axe des abscisses. Et si le sol lui-même bougeait ? Dans cette leçon, nous dépassons l'axe et apprenons à calculer l'aire des régions enfermées entre deux frontières fonctionnelles indépendantes, $f(x)$ et $g(x)$.
La géométrie des différences
Pour trouver l'aire $A$ d'une région $S$ bornée par $y = f(x)$ et $y = g(x)$ entre $x = a$ et $x = b$, nous utilisons la même logique des sommes de Riemann qui a posé les fondements du calcul.
L'extension de Riemann
Nous divisons la région en $n$ bandes verticales. Si $x_i^*$ est un point d'échantillonnage dans le $i$-ième intervalle, la hauteur du rectangle approximatif n'est pas seulement $f(x_i^*)$, mais la différence entre les hauteurs des courbes supérieure et inférieure :
$$h = f(x_i^*) - g(x_i^*)$$
Somme vers intégration
En augmentant le nombre de bandes à l'infini ($n \to \infty$), la somme de ces aires rectangulaires converge vers l'intégrale définie :
Formule clé :
$$A = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} [f(x_i^*) - g(x_i^*)] \Delta x = \int_a^b [f(x) - g(x)] dx$$
où $\Delta x = \frac{b-a}{n}$.
Règle de la différence absolue
Et si les courbes se croisent ? Si nous intégrons simplement $f-g$ alors que $g$ est en réalité au-dessus de $f$, nous obtiendrons un résultat négatif. Pour garantir que nous calculons toujours la valeur absolue de l'aire, nous utilisons la valeur absolue :
$$A = \int_a^b |f(x) - g(x)| dx$$
🎯 Théorème de la formule de l'aire
Si $f$ et $g$ sont des fonctions continues et $f(x) \ge g(x)$ pour tout $x$ dans $[a, b]$, l'aire $A$ de la région bornée par $y = f(x)$, $y = g(x)$, $x = a$ et $x = b$ est :
$$A = \int_a^b [f(x) - g(x)] dx$$
Exemple 1 : Exponentielle vs. Linéaire
Trouvez l'aire située au-dessus de $y = e^x$, en dessous de $y = x$, entre $x = 0$ et $x = 1$.
$$A = \int_0^1 (e^x - x) dx = [e^x - \frac{1}{2}x^2]_0^1 = (e - \frac{1}{2}) - (e^0 - 0) = e - 1.5 \approx 1.218$$